Question

17．如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=A_lC₁=l，AA_l=4，BB_l=2，CC_l=3．
（1）设点O是AB的中点，求直线OC与直线B₁C₁所成角的大小；
（2）求此几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁中点D，连接OD，C₁D，确定OC与B₁C₁所成的角即DC₁与B₁C₁所成的角，即可得出结论；
（2）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．

解答 解：（1）取A₁B₁中点D，连接OD，C₁D，四边形AA₁B₁B为梯形，
则OD=3，又由CC₁=3，且OD∥CC₁，则ODC₁C为平行四边形，
∴OC∥DC₁，
∴OC与B₁C₁所成的角即DC₁与B₁C₁所成的角，故所求角为30°  …．（5分）
（2）如图所示，∵BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴${V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$•BH=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•（1+2）•1•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-{A}_{2}B{C}_{2}}$=${S}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}•2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴几何体的体积=${V}_{B-A{A}_{1}{C}_{1}C}$+${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}-{A}_{2}B{C}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（10分）

点评 此题重点考查了直线OC与直线B₁C₁所成角，考查了利用分割法求几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．