Question

7．已知函数f（x）=x+$\frac{k}{x}$，k≠0．
（1）若k=-1，求曲线在点（1，0）处的切线方程；
（2）若k＞0，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）将k=-1代入，求出函数f（x）的表达式，得到函数的导数，求出斜率f′（1）=2，代入点斜式方程，从而求出切线的方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论x的范围，从而求出函数的单调区间和最值．

解答 解：（1）k=-1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$，f′（1）=2，
∴切线方程为：y=2（x-1）；
（2）k＞0时，f′（x）=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-k}{{x}^{2}}$，
x＞0时：令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{k}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{k}$，
∴f（x）在（0，$\sqrt{k}$）递减，在（$\sqrt{k}$+∞）递增，
x＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＜-$\sqrt{k}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{k}$，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{k}$）递增，在（-$\sqrt{k}$，0）递减；
当x＜0时：f（x）_极大值=f（-$\sqrt{k}$）=-2$\sqrt{k}$，
当x＞0时：f（x）_极小值=f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$．

点评 本题考查了利用导数求曲线的切线问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．