Question

15．已知在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为6$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x即可．

解答 解：设AB=AC=2x，AD=x．
设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=$\frac{（{2x）}^{2}+{x}^{2}-81}{2×2x•x}$=$\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\sqrt{1-{（\frac{5{x}^{2}-81}{4{x}^{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{-9{x}^{4}+810{x}^{2}-{81}^{2}}{（{4{x}^{2}）}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{-（{{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$，
 根据公式三角形面积S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}$×2x•2x•$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{4{x}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{-{（{x}^{2}-45）}^{2}+{45}^{2}-729}}{2}$，
∴当 x²=45时，三角形面积有最大值．此时x=3$\sqrt{5}$．
AB的长：6$\sqrt{5}$．
故答案为：6$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．