Question

11．已知sinα-cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sin（α+$\frac{π}{12}$）=（　　）

• A． $\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
• B． $\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$
• C． $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 方法1：利用辅助角公式先求出sin（α-$\frac{π}{4}$）的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解．
方法2：根据条件求出sinα，和cosα的值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．

解答 解：法1：∵sinα-cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，则cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
则sin（α+$\frac{π}{12}$）=sin（α-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=sin（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
法2：∵sinα-cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴平方得1-2sinαcosα=$\frac{18}{25}$，
即2sinαcosα=$\frac{7}{25}$，
则sinα+cosα=$\sqrt{1+2sinαcosα}=\sqrt{1+\frac{7}{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
则sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
则cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
则sin（α+$\frac{π}{12}$）=sinαcos$\frac{π}{12}$+cosαsin$\frac{π}{12}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
故选：B

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．