Question

16．设函数f（x）=|x-a|+|x-2|，若函数g（x）=（x+a）•f（x）的图象中心对称，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． -2
• C． 0
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 函数f（x）的图象从左到右依次为一段抛物线、一条线段、一段抛物线，对称中心必须是线段的中点．线段中点的横坐标：$\frac{a+2}{2}$，抛物线的对称轴为x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，令$\frac{a+2}{2}$=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，解得a的值，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|），
首先注意到，函数f（x）的图象从左到右依次为一段抛物线、一条线段、一段抛物线．
因此，图形的对称中心必须是线段的中点．（因为直线旋转180°以后只能和自己重合）
另外，两段抛物线要旋转180°以后重合，必须绕着其对称轴上的某个点旋转．
左侧的一段抛物线方程为f（x）=（x+a）（a+2-2x），对称轴为x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，
中间一条线段的方程为 f（x）=（x+a）|a-x+x-2|=（x+a）•|a-2|，线段中点的横坐标：$\frac{a+2}{2}$，
右侧的一段抛物线方程为f（x）=（x+a）（2x-2-a），对称轴为x=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$．
令$\frac{a+2}{2}$=$\frac{-a+\frac{a+2}{2}}{2}$，解得a=-$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查绝对值的函数，函数图象的对称性应用，属于中档题．