Question

4．设函数f（x）=|x+a|+|x+3|，
（1）若不等式f（x）≤8有解，求a的取值范围；
（2）不等式f（x）＞|a-2|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 f（x）=|x+a|+|x+3|≥|x+a-x-3|=|a-3|，
（1）不等式f（x）≤8有解，所以|a-3|≤8，可得a的取值范围；
（2）不等式f（x）＞|a-2|对任意x∈R恒成立，可得|a-3|＞|a-2|，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x+3|≥|x+a-x-3|=|a-3|，不等式f（x）≤8有解，
所以|a-3|≤8，
所以-5≤a≤11；
（2）由（1）知，不等式f（x）＞|a-2|对任意x∈R恒成立，
则|a-3|＞|a-2|，
所以a＜2.5．

点评 本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，求出f（x）=|x+a|+|x+3|≥|x+a-x-3|=|a-3|，正确转化是关键．