Question

12．在△ABC中，$\overrightarrow{A{B}^{\;}}$²=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{AB}$=0，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$等于（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据已知条件便知道∠BAC=90°，取AC边的中点D，连接OD，便可得到OD⊥AC，$|\overrightarrow{OD}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}$，这时候可以画出图形，结合图形即可求出$|\overrightarrow{CA}|，|\overrightarrow{CB}|$，cos∠BCA，根据向量数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$．

解答 解：由${\overrightarrow{AB}}^{2}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos∠ABC$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|cos∠ABC$；
∴∠BAC=90°；
由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AB}$；
∴$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）⊥\overrightarrow{AC}$，如图所示：
D为AC边中点，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$；
∴$|\overrightarrow{OD}|=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{OA}|=1$；
∴$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{CB}|=2$，$cos∠BCA=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=3$．
故选A．

点评 考查余弦函数的定义，向量数量积的计算公式，以及向量加法的平行四边形法则，直角三角形边角的关系．