Question

14．已知函数f（x）=cos（-$\frac{x}{2}$）+sin（$π-\frac{x}{2}$），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-90，90]，求函数f（x）的最值；
（3）求f（x）在[0，180）上的减区间．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°），由周期公式即可得解．
（2）由x∈[-90°，90°]解得$\frac{x}{2}$+45°的范围，可求sin（$\frac{x}{2}$+45°）的范围，即可求得函数f（x）的最值．
（3）由x∈[0°，180°），可求$\frac{x}{2}$+45°的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求的f（x）在[0，180）上的减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（-$\frac{x}{2}$）+sin（$π-\frac{x}{2}$）=cos（$\frac{x}{2}$）+sin（$\frac{x}{2}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）∵x∈[-90°，90°]，
∴$\frac{x}{2}$∈[-45°，45°]，$\frac{x}{2}$+45°∈[0，90°]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+45°）∈[0，1]，
∴函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°）的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为0．
（3）∵x∈[0°，180°），
∴$\frac{x}{2}$∈[0，90°），$\frac{x}{2}$+45°∈[45°，135°），
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+45°）在[0，180）上的减区间为：[90°，180°）．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．