Question

4．已知函数f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数在x=0时的导数等于2求得a的值；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$，求其导函数，然后分当0＜a≤1和a＞1判断导函数在[0，a）上的符号，得到原函数在[0，a）上的单调性，由此可得使不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立的实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），
得${f^'}（x）=\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}=\frac{2a}{{{a^2}-{x^2}}}$，
∴${f^'}（0）=\frac{2a}{a^2}=\frac{2}{a}$，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
∴f′（0）=2，
即$\frac{2}{a}=2$，解得a=1；
（Ⅱ）令$g（x）=f（x）-2x-\frac{{2{x^3}}}{3}（x≥0）$，
则$g'（x）={（{f（x）-2x-\frac{{2{x^3}}}{3}}）^′}=f'（x）-2-2{x^2}=\frac{2a}{{{a^2}-{x^2}}}-2-2{x^2}$
=$\frac{2}{{a}^{2}-{x}^{2}}[{x}^{4}-（{a}^{2}-1）{x}^{2}+a-{a}^{2}]$，
①当0＜a≤1时，a²-1≤0，a-a²≥0，
∴当0≤x＜a时，x⁴-（a²-1）x²+a-a²≥0，即g'（x）≥0，
∴函数g（x）在[0，a）上为增函数；
∴g（x）≥g（0）=0，即当0＜a≤1时，$f（x）≥2x+\frac{{2{x^3}}}{3}$；
②当a＞1时，a²-1＞0，a-a²＜0，
∴$0＜x＜\sqrt{{a^2}-1}＜a$时，x²-（a²-1）＜0，x²[x²-（a²-1）]＜0，
从而x⁴-（a²-1）x²+a-a²＜0，即g'（x）＜0
从而函数g（x）在$（{0，\sqrt{{a^2}-1}}）$上为减函数，不满足x≥0时，不等式f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$恒成立．
∴实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用函数的单调性求解恒成立问题，体现了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题．