Question

1．设A，B分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的公共顶点，P，M分别为双曲线和椭圆上异于A，B的两动点，且满足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄且k₁+k₂=5，则k₃+k₄=-5．

Answer 1

分析 如图所示，由满足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，利用向量的平行四边形法则可得：O，M，P三点共线．设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k≠0．分别利用点在双曲线与椭圆上可得$\frac{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$，$\frac{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$．k₁+k₂=5，利用斜率计算公式可得5=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{1}{k}$．再利用向量计算公式即可得出k₃+k₄．

解答 解：如图所示，
∵满足$\overline{AP}$+$\overline{BP}$=$λ（\overline{AM}+\overline{BM}）$，其中λ∈R，|λ|＞1，
∴-2$\overrightarrow{PO}$=λ•（-2$\overrightarrow{MO}$），
∴O，M，P三点共线．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k≠0．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$，$\frac{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$，
∵k₁+k₂=5，
∴5=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{\frac{{{a}^{2}y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{1}{k}$．
∴k₃+k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$$•\frac{1}{k}$=-5．
故答案为：-5．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．