Question

11．如图，ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC的中点，AB=AD=BE，沿DE将△CDE折起成四棱锥C-ABED．
（1）设点O为ED的中点，问在棱AC上是否存在一点M使得OM∥平面CBE，并证明你的结论；
（2）若AB=2，求四棱锥C-ABED体积的最大值．

Answer 1

分析 （1）M为AC的中点，使得OM∥平面CBE，取CD中点N，连接OM，ON，MN，证明平面OMN∥平面CBE，可得OM∥平面CBE；
（2）由（1）知，OC⊥平面ABED时，四棱锥C-ABED体积最大．

解答 解：（1）M为AC的中点，使得OM∥平面CBE．
取CD中点N，连接OM，ON，MN，则ON∥CE，MN∥AD∥BE，
∵ON?平面CBE，CE?平面CBE，
∴ON∥平面CBE，
同理MN∥平面CBE，
∵ON∩MN=N，
∴平面OMN∥平面CBE，
∵OM?平面OMN，
∴OM∥平面CBE；
（2）由（1）知，OC⊥平面ABED时，四棱锥C-ABED体积最大，
此时，平面ABED是菱形，且∠ABE=60°，面积为2×2×sin60°=2$\sqrt{3}$，△CDE是等边三角形，高为$\sqrt{3}$，
四棱锥C-ABED体积的最大值为$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥C-ABED体积的求法，正确运用线面平行的判定是关键．