Question

6．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=1，点E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：EF⊥BD₁；
（2）求二面角B₁-EF-B的平面角的正切值；
（3）求三棱锥B₁-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据直线平面垂直的性质，判定转化证明线线垂直．
（2）连接B₁H，由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF⊥BH，由正方体的几何特征，可得B₁H⊥EF，则∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，解三角形B₁HB，即可得到二面角B₁-EF-B的大小
（3）根据体积公式V=$\frac{1}{3}$×S_△BEF×BB₁，先求解面积，高线问题．

解答 （1）证明：连结AC、BD，AC与BD交于点O．
∵DD₁⊥AD，DD₁⊥AC，AD∩DC=D
∴DD₁⊥平面ABCD．
∴DD₁⊥AC，
又四边形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁
∵点E、F分别是AB、BC的中点
∴EF∥AC，
∴EF⊥BD₁，
（2）解：EF与BD相交于点H，连接B₁H，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF⊥BH
又BB₁⊥平面ABCD，∴BH是B₁H在平面ABCD的射影，∴B₁H⊥EF
∴∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，
∴tan∠B₁HB=$\frac{{B}_{1}B}{BH}$=$\frac{{B}_{1}B}{\frac{1}{4}×\sqrt{2}{B}_{1}B}$=2$\sqrt{2}$；
（3）解：∵AB=1．BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱锥B₁-BEF的高，
∵AB⊥BC，E，F，分别是AB，CD的中点．
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}×BE$×BF=$\frac{1}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×$S_△BEF×BB₁=$\frac{1}{24}$．

点评 本题考查了直线平面的位置关系，运用定理判断位置关系，求解大小，属于难题．