Question

3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．
（1）求证：平面EFG⊥平面PDC
（2）求证：FG∥平面PDA
（3）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

分析 （1）欲证平面EFG⊥平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF⊥平面PDC，GF∈平面EFG，满足定理条件；
（2）证明GF∥AD，利用线面平行的判定定理，即可证明FG∥平面PDA；
（3）不妨设MA=1，求出PD=AD，得到V_p-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}，求出PD，根据DA⊥面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V _P-MAB：V _P-ABCD的比值．

解答 （1）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC?平面ABCD，
因为四边形ABCD为正方形，
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D，因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC；
（2）证明：因为GF∥BC，AD∥BC
所以GF∥AD，
因为GF?平面PDA，AD?平面PDA，
所以FG∥平面PDA
（3）解：因为PD⊥平面ABCD，
四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，
则PD=AD=2，所以V_p-ABCD=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}•PD=$\frac{8}{3}$
由于DA⊥面MAB，
所以DA即为点P到平面MAB的距离，
三棱锥V_P-MAB=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×2=$\frac{2}{3}$，
所以V_P-MAB：V_P-ABCD=1：4

点评 本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、线面平行、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查识图能力和逻辑思维能力．