Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*，则a_n=$\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．

Answer 1

分析 S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*，当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．当n≥2时，可得${a}_{n}=2{a}_{n-1}-2（-1）^{n}$，变形为${a}_{n}+\frac{2}{3}（-1）^{n}$=2$[{a}_{n-1}+\frac{2}{3}（-1）^{n-1}]$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*，
∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}+（-1）^{n-1}$，
a_n=2a_n-2a_n-1+2（-1）ⁿ，
∴${a}_{n}=2{a}_{n-1}-2（-1）^{n}$，
化为${a}_{n}+\frac{2}{3}（-1）^{n}$=2$[{a}_{n-1}+\frac{2}{3}（-1）^{n-1}]$，
∴数列$\{{a}_{n}+\frac{2}{3}（-1）^{n}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{3}$，公比为2．
∴a_n+$\frac{2}{3}（-1）^{n}$=$\frac{1}{3}×{2}^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2}^{n-1}-2（-1）^{n}}{3}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．