Question

8．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱DD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且AD=AA₁．
（Ⅰ）求证：CD₁∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅲ）若点E为棱AB上的一个动点，求证：A₁D⊥D₁E．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CD₁∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可在证明平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁；
（Ⅲ）根据线面垂直的性质证明A₁D⊥面ABD₁，即可证明A₁D⊥D₁E．

解答 （Ⅰ）证明：连结A₁B，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=B₁C₁，
BC∥B₁C₁，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁，
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，
则四边形A₁BCD₁为平行四边形．
所以CD₁∥A₁B…（2分）
又CD₁?面ABB₁A₁，A₁B?面ABB₁A₁
所以CD₁∥面ABB₁A₁…（3分）
（Ⅱ）证明：在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
DD₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，
所以DD₁⊥BC．
因为底面ABCD是矩形，
所以CD⊥BC．
又DD₁∩DC=D
所以BC⊥平面DCC₁D₁，．
又BC?面BCD₁
所以平面BCD₁⊥平面DCC₁D₁   …（6分）
（Ⅲ）证明：连结AD₁在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有DD₁⊥面ABCD
所以DD₁⊥AB．因为底面ABCD为矩形，
所以AD⊥AB．
又AD∩DD₁=D，
所以AB⊥面ADD₁A₁．所以AB⊥A₁D （8分）
又AD=AA₁，所以A₁D⊥AD₁因为A₁D∩AB=A，
所以A₁D⊥面ABD₁，…（9分）
又点E为棱AB上的一个动点，所以D₁E?平面ABD₁
所以A₁D⊥D₁E，．…（10分）

点评 本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．