Question

17．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M-BC-D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意知该旋转体下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，求出它的表面积即可；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，说明∠MFE为二面角M-BC-D的平面角，设∠CAM=θ，通过tan∠MFE=1求出$sin\frac{θ}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，然后求解CM．

解答 解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$×2=8$\sqrt{2}$π，
或S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×（4π×2$\sqrt{2}$-2π×$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×2π×$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M-BC-D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=$\sqrt{2}（1-cosθ）$，
∵tan∠MFE=1，∴$\frac{2sinθ}{\sqrt{2}（1-cosθ）}=1$，∴tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$sin\frac{θ}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CM=2$•2sin\frac{θ}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．