Question

5．若对任意x∈（-$\frac{1}{2}$，1），都有$\frac{x}{1+x-2{x}^{2}}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，则a₃+a₄=-2．

Answer 1

分析 根据题意，$\frac{x}{1+x-2{x}^{2}}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，化为x=（1+x-2x²）（a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…），
利用系数相等，列出方程，求出a₀、a₁、a₂、a₃、a₄的值，计算a₃+a₄即可．

解答 解：∵x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，$\frac{x}{1+x-2{x}^{2}}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
即x=（1+x-2x²）（a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…）
=a₀+（a₀+a₁）x+（a₂+a₁+-2a₀）x²+（a₃+a₂-2a₁）x³+（a₄+a₃-2a₂）x⁴+…，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{0}=0}\\{{a}_{0}{+a}_{1}=1}\\{{a}_{2}{+a}_{1}-{2a}_{0}=0}\\{{a}_{3}{+a}_{2}-{2a}_{1}=0}\\{{a}_{4}{+a}_{3}-{2a}_{2}=0}\end{array}\right.$；
解得a₀=0，a₁=1，a₂=-1，a₃=3，a₄=-5；
∴a₃+a₄=3-5=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应根据多项式相乘原理求出某项的系数，是基础题目．