Question

17．如图，三棱柱 ABC-A₁ B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若 AB=CB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，求三棱锥C-A BC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连接CO，OA₁，A₁B．利用等腰三角形与菱形、等边三角形的性质可得：AB⊥CO，AB⊥OA₁，从而证明AB⊥平面COA₁．即可得出．
（2）利用等边三角形的性质、线面垂直的判定定理可得：A₁O⊥平面ABC．故A₁O是三棱锥A₁-ABC的高．利用三棱锥A₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}$×A₁O即可得出．

解答 （1）证明：取AB的中点O，连接CO，OA₁，A₁B．
∵CA=CB，
∴CO⊥AB，
又AB=AA₁，$∠BA{A_1}={60^o}$．
∴△A₁AB为等边三角形．
∴A₁O⊥AB，
又∵CO?平面COA₁，A₁O?平面COA₁，CO∩A₁O=O．
∴AB⊥平面COA₁．
又A₁C?平面COA₁，
因此AB⊥A₁C；
（2）解：在等边△ABC中$CO=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
在等边△A₁AB中${A_1}O=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$；
在△A₁OC中$O{C^2}+{A_1}{O^2}=3+3=6={A_1}{C^2}$．
∴△A₁OC是直角三角形，且$∠{A_1}OC={90^o}$，故OC⊥A₁O．
又OC、AB?平面ABC，OC∩AB=O，
∴A₁O⊥平面ABC．
故A₁O是三棱锥A₁-ABC的高．
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2sin{60^o}=\sqrt{3}$．
∴三棱锥A₁-ABC的体积$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•{A_1}O=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$．
∴三棱锥C-ABC₁的体积为1．

点评 本题主要考查了线面面面垂直与平行的判定性质定理、等腰三角形与菱形、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、化归与转化能力，属于中档题．