Question

13．如图，△ABC内接与圆O，AD平分∠BAC交直线BC于点E，交圆O于点D．
（Ⅰ）求证：AB•AC=AD•AE；
（Ⅱ）过D做MN∥BC，求证：MN是圆O的切线．

Answer 1

分析 （1）求出△ABD∽△AEC，得出比例式，即可得出答案；
（2）连接OD，根据角平分线求出∠BAD=∠CAD，推出弧BD=弧CD，根据垂径定理求出OD⊥BC，推出OD⊥MN，根据切线的判定推出即可．

解答 证明：（1）连接BD，
∵∠BAD=∠CAE，∠BDA=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AB•AC=AD•AE；
（2）连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BD=弧CD，
∵OD过O，
∴OD⊥BC，
∵MN∥BC，
∴OD⊥MN，
∴MN是圆O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度比较大．