Question

5．已知a，b，c＞0，求证：$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$+$\sqrt{\frac{b}{c+a}}$+$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$＞2．

Answer 1

分析 由于$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$=$\frac{a}{\sqrt{a（b+c）}}$，再由基本不等式可得$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$≥$\frac{2a}{a+b+c}$，同理可得$\sqrt{\frac{b}{c+a}}$≥$\frac{2b}{a+b+c}$，$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$≥$\frac{2c}{a+b+c}$，累加再说明等号不成立即可得证．

解答 证明：由于$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$=$\frac{a}{\sqrt{a（b+c）}}$≥$\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}$=$\frac{2a}{a+b+c}$（当且仅当a=b+c取得等号），
同样$\sqrt{\frac{b}{c+a}}$=$\frac{b}{\sqrt{b（a+c）}}$≥$\frac{b}{\frac{a+b+c}{2}}$=$\frac{2b}{a+b+c}$（当且仅当b=a+c取得等号），
$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$=$\frac{c}{\sqrt{c（a+b）}}$≥$\frac{c}{\frac{a+b+c}{2}}$=$\frac{2c}{a+b+c}$（当且仅当c=b+a取得等号），
则有$\sqrt{\frac{a}{b+c}}$+$\sqrt{\frac{b}{c+a}}$+$\sqrt{\frac{c}{a+b}}$≥$\frac{2a}{a+b+c}$+$\frac{2b}{a+b+c}$+$\frac{2c}{a+b+c}$=2，
由于a=b+c，b=c+a，c=a+b同时成立，即有a=b=c=0，不成立，
则有原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查运用基本不等式证明不等式的方法，注意变形是解题的关键．