Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，且CD=2，AB=AD=1，∠BCD=45°
（1）若点M是PD的中点，证明：AM∥平面PBC
（2）若△PBC的面积为$\sqrt{2}$，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点N，连结MN、NB，则MN∥DC且MN=$\frac{1}{2}$DC，从而四边形ABNM是平行四边形，利用线面平行的判定定理即得结论；
（2）连结BD，通过计算可得PB=2、PD=$\sqrt{2}$，建立坐标系D-xyz，则二面角B-PC-D的余弦值即为平面PBC的法向量与平面PDC的法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （1）证明：取PC的中点N，连结MN、NB，
在△PDC中，MN是中位线，MN∥DC，且MN=$\frac{1}{2}$DC，
由题AB=1、CD=2，可知$AB=\frac{1}{2}CD$，AB∥DC，
∴AB=MN，AB∥MN，
∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，
又AM?平面PBC，BN?平面PBC，
∴AM∥平面PBC；
（2）解：连结BD，由题可知△BAD为等腰直角三角形，所以∠BDC=45°，
由题设∠BCD=45°，∴CB⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∴BC⊥PB，
∴△PBC是直角三角形，且BC=BD=$\sqrt{2}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•PB=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•PB$=$\sqrt{2}$，
∴PB=2，PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，建立坐标系D-xyz如图，
则B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{PB}$=（1，1，$-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，$-\sqrt{2}$），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PB}$=x+y-$\sqrt{2}z$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=2y-$\sqrt{2}z$=0，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
又平面PDC的法向量为$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），
则$cos＜\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{1}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
显然二面角B-PC-D为锐角，故所求余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查中位线定理，线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．