Question

9．要将甲、乙两种大小不同的钢板截成A、B两种规格，每张钢板可同时截得A、B两种规格的小钢板的块数如表所示：
已知库房中现有甲乙两种钢板的数量分别为5张和10张，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15块和27块．

规格类型 钢板类型	A	B
甲	2	1
乙	1	3

（1）问各截两种钢板多少张可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少？
（2）有5个同学对线性规划知识了解不多，但是画出了可行域，他们每个人都在可行域的整点中随意取出一解，求恰好有2个人取到最优解的概率．

Answer 1

分析 （1）设甲种钢板需要x张，乙种钢板需要y张；共需要z张，从而可得约束条件及目标函数，结合图象得到两种钢板的张数即可；
（2）

解答 解：设甲种钢板需要x张，乙种钢板需要y张；共需要z张；
则由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{x≤5}\\{y≤10}\\{2x+y≥15}\\{x+3y≥27}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$；
z=x+y；
作出其平面区域可得，

结合图象可得，满足条件的x，y值有：
（3，9），（3，10），（4，10），（4，8），（4，9），（5，10），（5，9），（5，8）．
故z的最小值为3+9=4+8=12；
故各截两种钢板3张，9张或4张，8张时可得到所需的成品数，且使所用的两种钢板的总张数最少．
（2）因为可行域内的整点个数为8个，而最优解有两个，所以每个人取到最优解的概率为$\frac{1}{4}$，
所以5个人中有2个人取到最优解的概率为${C}_{5}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{3}=\frac{135}{512}$．
所以5人中恰好有2个人取到最优解的概率为$\frac{135}{512}$．

点评 本题考查了线性规划在实际问题中的应用以及概率问题，属于中档题