Question

14．设函数f（x）=e^x-1
（1）当a＞ln2-1且x＞0时，证明：f（x）＞x²-2ax
（2）若f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）-x²+2ax=e^x-1-x²+2ax，x＞0，则g′（x）=e^x-2x+2a=u（x），再一次求导可得u′（x）=e^x-2，求出极小值即可判断出u（x）的符号，即可证明；
（2）f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，?a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$=v（x）在（0，1）恒成立，v′（x）=$\frac{（x-1）（x+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$，令h（x）=x+1-e^x，x∈（0，1），利用导数研究其单调性，判定其符号即可得出．

解答 （1）证明：令g（x）=f（x）-x²+2ax=e^x-1-x²+2ax，x＞0，
则g′（x）=e^x-2x+2a=u（x），
u′（x）=e^x-2，
当0＜x＜ln2时，u′（x）＜0，此时函数u（x）单调递减；当ln2＜x时，u′（x）＞0，此时函数u（x）单调递增．
∴当x=ln2时，函数u（x）取得极小值即最小值，u（ln2）=2-2ln2+2a，
∵a＞ln2-1，
∴u（ln2）＞2-2ln2+2（ln2-1）=0，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x＞0时单调递增，
∴g（x）＞g（0）=1-1-0+0=0，
∴f（x）＞x²-2ax．
（2）解：f（x）≥x²-ax在（0，1）恒成立，
则a≥x+$\frac{1}{x}$-$\frac{{e}^{x}}{x}$=v（x）在（0，1）恒成立，
v′（x）=$1-\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x+1-e^x，x∈（0，1），
则h′（x）=1-e^x＜0，
∴h（x）在x∈（0，1）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=1-1=0，
∴v′（x）＞0，
∴函数v（x）在（0，1）单调递增，
∴a≥v（1）=2-e．
∴实数a的取值范围是[2-e，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．