Question

1．设数列{a_n}的首项为2，且$\frac{a_{n+1}}{n+2}$-$\frac{a_{n}}{n}$=n+1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）求a_n；
（3）若数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，求证：S_n＜ln（n+1）

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，$\frac{a_{n+1}}{n+2}$-$\frac{a_{n}}{n}$=n+1，n∈N^*．分别取n=1，2即可得出；
（2）由$\frac{a_{n+1}}{n+2}$-$\frac{a_{n}}{n}$=n+1，n∈N^*．变形为$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）（n+2）}-\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}=1$，利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）由（2）可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．可得S_n=1-$\frac{1}{n+1}$．令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1），研究其单调性即可得出S_n＜ln（n+1）．

解答 （1）解：∵a₁=2，$\frac{a_{n+1}}{n+2}$-$\frac{a_{n}}{n}$=n+1，n∈N^*．∴$\frac{{a}_{2}}{3}-\frac{{a}_{1}}{1}$=2，解得a₂=12，
$\frac{{a}_{3}}{4}-\frac{{a}_{2}}{2}$=3，解得a₃=36．
（2）解：由$\frac{a_{n+1}}{n+2}$-$\frac{a_{n}}{n}$=n+1，n∈N^*．变形为$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）（n+2）}-\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}=1$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}\}$为等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n（n+1）}$=1+（n-1）=n，∴${a}_{n}={n}^{2}（n+1）$．
（3）证明：由（2）可得：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
令f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞1），
f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴ln（n+1）+$\frac{1}{n+1}$-1＞0，
即ln（1+n）＞$1-\frac{1}{1+n}$，
∴S_n＜ln（n+1）．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”、利用导数研究函数的单调性证明不等式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．