Question

10．设平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx+2$\sqrt{3}$，sinx），$\overrightarrow{c}$=（sinα，cosα），x∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{c}$，求cos（2x+2α）的值；
（2）若α=0，求函数f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}）$的最大值，并求出相应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（2）若α=0，则$\overrightarrow{c}$=（0，1），由题意化简可得函数解析式：f（x）=1+4sin（x+$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的有界性求出函数的最值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，
∴cosxsinα+sinxcosα=0，
∴sin（x+α）=0，
∴cos（2x+2α）=1-2sin²（x+α）=1．
（2）若α=0，$\overrightarrow{c}$=（0，1），
则f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}）$=（cosx，sinx）•（cosx+2$\sqrt{3}$，sinx-2）=cosx（cosx+2$\sqrt{3}$）+sinx（sinx-2）=1-2sinx+2$\sqrt{3}$cosx=1+4sin（x+$\frac{2π}{3}$），
所以，f（x）max=5，x=2kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）．

点评 本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基本知识的考查．