Question

4．设函数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）的定义域为[s，t），值域为（log_a（at-a），log_a（as-a）]，
（1）求证：s＞3；
（2）求实数a的取值范围；
（3）设t（x）=|x-1|，h（x）=x²+2x+1，求证：10^t（n）•（$\frac{4}{5}$）^h（n）＜4．

Answer 1

分析 （1）利用函数的定义域和函数的值域进一步判断函数的单调性，最后求出s的范围．
（2）利用对数函数的性质建立一元二次方程，利用一元二次方程实数根的情况求出a的范围．
（3）建立数列，进一步利用单调性求出结果．

解答 证明：（1）数f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）的定义域为[s，t），
所以：$\frac{s-3}{s+3}＞0$，
解得：s＞3或s＜-3，
由于函数的定义域为[s，t），值域为（log_a（at-a），log_a（as-a）]，
所以：f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（a＞0且a≠1）为减函数，
所以：0＜a＜1，
则：${log}_{a}\frac{s-3}{s+3}={log}_{a}（as-a）$，
$\frac{s-3}{s+3}=a（s-1）$＞0，
所以：s＞1，
则：s＞3；
（2）解：由于$\frac{s-3}{s+3}=a（s-1）$可转化为：as²+（2a-1）s+3-3a=0，
由已知得：该方程有两根，其中一根为s，
所以：△＞0，
即：（2a-1）²-4a（3-3a）＞0，
解得：$0＜a＜\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或$\frac{2+\sqrt{3}}{4}＜a＜1$．
证明：（3）设t（x）=|x-1|，h（x）=x²+2x+1，
所以：①x≥1时，f（x）+g（x）=x²+3x，
则：函数在[1，+∞）是单调递增函数．
②当x＜1时，f（x）+g（x）=x²+x+2，
则：函数在[-$\frac{1}{2}$，1]是单调递增函数．
设：${c}_{n}={10}^{|x-1|}（\frac{4}{5}）^{{x}^{2}+2x+1}$，
考察{c_n}的变化规律：$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}＜1$，由于c_n＞0，
所以上式转化为：$10•（\frac{4}{5}）^{2n+3}＜1$，
解得：$n＞\frac{1}{2lg0.8}-\frac{3}{2}≈3.7$，
n为正整数，所以n≥4，
则：c₁≤c₂≤c₃≤c₄，且c₄＞c₅＞c₆…
所以：10^t（n）•（$\frac{4}{5}$）^h（n）=${10}^{t（4）}•{（\frac{4}{5}）}^{h（4）}$=${10}^{3}•（\frac{4}{5}）^{25}＜4$．

点评 本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，利用函数的单调性求参数的取值范围，主要考查学生的应用能力．