Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f[f（x）]-m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，-1）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$及复合函数的单调性知f[f（x）]在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；从而再由函数零点的判定定理可解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≥0}\\{-3x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f[f（x）]在[0，+∞）上是增函数，
且f（f（0））=2，
f[f（x）]在（-∞，0）上是减函数，
且f（f（x））＞2⁰=1，
故若函数g（x）=f[f（x）]-m有且只有一个零点，
则实数m的取值范围是（1，2）；
故选：C．

点评 本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．