Question

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，通过两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）通过余弦定理求出b，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）acosC+ccosA=2bcosA
由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA….3’
所以sin（A+C）=2sinBcosA，即sinB=2sinBcosA
由sinB≠0$⇒cosA=\frac{1}{2}$….6’
由于0＜A＜π，故$A=\frac{π}{3}$….7’
（2）由余弦定理得，${（{\sqrt{3}}）^2}={2^2}+A{C^2}-2•2•AC•cos\frac{π}{3}$
所以AC=1….12’
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•2•1•sin\frac{π}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$….14’

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．