Question

12．若关于x的方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k（k为实数）有三个实数解，则这三个实数的和为6．

Answer 1

分析 log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k可化为$\frac{x}{4-x}$=2^（kx-2k），从而可判断2是方程的根，再设a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，从而可知4-a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，从而解得．

解答 解：∵log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k，
∴log₂$\frac{x}{4-x}$+1=kx+1-2k，
即log₂$\frac{x}{4-x}$=kx-2k，
即$\frac{x}{4-x}$=2^（kx-2k），
易知当x=2时，上式成立，
故2是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，
设a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解，
即$\frac{a}{4-a}$=2^k（a-2），
则$\frac{4-a}{4-（4-a）}$=$\frac{4-a}{a}$=$\frac{1}{\frac{a}{4-a}}$，
2^k（4-a-2）=2^k（2-a）=2^-k（a-2）=$\frac{1}{{2}^{k（a-2）}}$，
故4-a是方程log₂$\frac{2x}{4-x}$=kx+1-2k的解；
故三个实数解为2，a，4-a；
故其和为6；
故答案为：6．

点评 本题考查了方程的解的应用及对数函数的性质应用，属于中档题．