Question

7．在各项均为正项的等比数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=31，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}+\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{31}{16}$，则a₃=4．

Answer 1

分析 设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到${{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=16$，则a₃可求．

解答 解：设等比数列a_n的公比为q，则{$\frac{1}{{a}_{n}}$}也是等比数列，
且公比为$\frac{1}{q}$，依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}=31}\\{\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{5}}）}{1-\frac{1}{q}}=\frac{31}{16}}\end{array}\right.$，
两式作比得：${{a}_{1}}^{2}{q}^{4}=16$，即${a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}=±4$，
∵a_n＞0，∴a₃=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．