Question

15．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2$\sqrt{3}$，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求三棱锥P-BDC的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，利用等腰三角形的性质可得：BD⊥AC，利用线面垂直的性质可得：PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC；
（2）由PA⊥底面ABCD，利用三棱锥P-BDC的体积V=$\frac{1}{3}PA•{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （1）证明：连接AC，BD，
∵BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BD，
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：∵S_△BCD=$\frac{1}{2}•BC•BDsin12{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
又PA⊥底面ABCD，
∴三棱锥P-BDC的体积V=$\frac{1}{3}PA•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．