Question

7．若方程|x²-2x-1|-t=0有四个不同的实数根x₁、x₂、x₃、x4，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范围是（　　）

• A． （8，6$\sqrt{2}$）
• B． （6$\sqrt{2}$，4$\sqrt{5}$）
• C． [8，4$\sqrt{5}$]
• D． （8，4$\sqrt{5}$]

Answer 1

分析 先作函数y=|x²-2x-1|的图象，结合图象可得0＜t＜2，再由韦达定理可得x₄-x₁=$\sqrt{{2}^{2}+4（1+t）}$=$\sqrt{8+4t}$，x₃-x₂=$\sqrt{8-4t}$，再令f（t）=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，令f′（t）=$\frac{4\sqrt{8-4t}-2\sqrt{8+4t}}{\sqrt{8+4t}\sqrt{8-4t}}$=0得t=$\frac{6}{5}$，从而由函数的单调性确定2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范围．

解答 解：由题意，
作函数y=|x²-2x-1|的图象如下，

由图象知，0＜t＜2，
∵|x²-2x-1|-t=0，
∴|x²-2x-1|=t，
故x²-2x-1-t=0或x²-2x-1+t=0，
则x₄-x₁=$\sqrt{{2}^{2}+4（1+t）}$=$\sqrt{8+4t}$，
x₃-x₂=$\sqrt{8-4t}$，
故2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）
=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，
令f（t）=2$\sqrt{8+4t}$+$\sqrt{8-4t}$，
令f′（t）=$\frac{4\sqrt{8-4t}-2\sqrt{8+4t}}{\sqrt{8+4t}\sqrt{8-4t}}$=0得，
t=$\frac{6}{5}$，
故f（t）在（0，$\frac{6}{5}$）上是增函数，在（$\frac{6}{5}$，2）上是减函数；
而f（$\frac{6}{5}$）=4$\sqrt{5}$，f（0）=6$\sqrt{2}$，f（2）=8；
故2（x₄-x₁）+（x₃-x₂）的取值范围是（8，4$\sqrt{5}$]，
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的应用，属于中档题．