Question

16．数列{a_n}{b_n}满足a₁=1，a₂=x（x＞0），b_n=a_n•a_n+1，且{b_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，设c_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*）．
（1）求{c_n}的通项公式；
（2）设d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$，x=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，求数列{d_n}的最大项和最小项的值．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的定义和题意可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，代入式子则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+1}{+a}_{2n+2}}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$化简，利用等比数列的定义、通项公式，求出{c_n}的通项公式；
（2）由（1）和对数的运算化简d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$，利用数列的函数特征判断出数列{d_n}的单调性，再求出最大项和最小项的值．

解答 解：（1）因为b_n=a_n•a_n+1，且{b_n}是公比为q（q＞0）的等比数列，
所以$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，
又c_n=a_2n-1+a_2n，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+1}{+a}_{2n+2}}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$=$\frac{{q（a}_{2n-1}{+a}_{2n}）}{{a}_{2n-1}+{a}_{2n}}$=q，
因为a₁=1，a₂=x（x＞0），
所以数列{c_n}是以（1+x）为首项、以公比为q的等比数列，
则c_n=（1+x）q^n-1；
（2）由（1）得，d_n=$\frac{lg{c}_{n+1}}{lg{c}_{n}}$=$\frac{lg[（1+x）{q}^{n}]}{lg[（1+x）{q}^{n-1}]}$，
因为x=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，
所以d_n=$\frac{lg{2}^{19.2-n}}{lg{2}^{20.2-n}}$=$\frac{19.2-n}{20.2-n}$=$\frac{20.2-n-1}{20.2-n}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，
则d_n在（0，20.2）、（20.2，+∞）随着n的增大而减少，
当n=19时，d₁₉=1-$\frac{1}{1.2}$=$\frac{1}{6}$；
当n=20时，d₂₀=1+$\frac{1}{0.2}$=6，
所以数列{d_n}的最大项和最小项的值分别为$\frac{1}{6}$、6．

点评 本题考查等比数列的通项公式、定义求通项公式，对数的运算性质，利用数列的递推公式构造等比数列，以及利用数列的单调性求出数列中最大项、最小项问题．