Question

2．如图，已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为2的正方形，点P，Q分别是ED，AC的中点．
（1）求几何体EMF-ABCD的表面积；
（2）证明：PQ∥平面BEF；
（3）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设EMF-ABCD的表面积为S，利用S=S_{正方形ABCD}+S_{正方形MDCF}+S_{正方形EADM}+S_△EAB+S_△FBC+S_△MEF+S_正△BEF，即可得出；
（2）P是AM的中点，Q是AC的中点，由三角形中位线定理可得PQ∥BE，再利用线面平行的判定定理即可得出；
（3）利用$cosθ=\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BEF}}$即可得出．

解答 （1）解：设EMF-ABCD的表面积为S，则
S=S_{正方形ABCD}+S_{正方形MDCF}+S_{正方形EADM}+S_△EAB+S_△FBC+S_△MEF+S_正△BEF
=2²×3+3×$\frac{1}{2}×{2}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{2}）^{2}$
=18+2$\sqrt{3}$．
（2）证明：∵P是AM的中点，Q是AC的中点，
由三角形中位线定理可得：PQ∥BE，
PQ?平面BEF，BE?平面BEF，
∴PQ∥平面BEF．
（3）解：设平面BEF与平面ABCD夹角为θ．
由于△BEF在平面ABCD的射影是△ABC，
∴$cosθ=\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}×{2}^{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、线面平行的判定定理、正方形与正三角形的面积计算公式、二面角的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．