Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，令b_n=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$，则数列{b_n}的前10项和为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，变形为a_n+1-（n+2）=[a_n-（n+1）]（a_n+1），由于a_n+1≠0，可得a_n=n+1．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴a_n+1-（n+2）=[a_n-（n+1）]（a_n+1），
由于a_n+1≠0，可得a_n=n+1．
∴b_n=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．
∴S₁₀=$\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$．
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．