Question

5．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=2，∠PCD=45°，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求三棱锥C-BED的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE．利用正方形的性质、三角形中位线定理可得OE∥PA．再利用线面平行的判定定理可得：PA∥平面BDE；
（2）利用线面垂直的性质可得：PD⊥BC，又BC⊥CD，可得BC⊥平面PDC，因此BC⊥DE．利用等腰三角形的性质可得：DE⊥PC，可得DE⊥平面PBC，即可证明．
（3）由E是PC的中点，可得点E到平面BCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD．利用V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}h{S}_{△BCD}$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE．
∵底面ABCD是正方形，∴OA=OC．
又E是PC的中点，
∴OE∥PA．
又PA平面BDE，OE?平面BDE．
∴PA∥平面BDE；
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DE．
∵PD=DC，PE=EC，
∴DE⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PBC；
（3）解：∵E是PC的中点，
∴点E到平面BCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}h{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、线面面面平行垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．