Question

10．如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F是BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AE中点G，连接DG、FG，由三角形中位线的性质得到FG∥AB，进一步得到FG∥平面ABC，再由已知证出四边形ACDG为平行四边形，
得到DG∥AC，即DG∥平面ABC，由面面平行的判定得平面DFG∥平面ABC，进一步得到DF∥平面ABC；
（2）把三棱锥E-ABD的体积转化为求三棱锥B-AED的体积，然后通过解三角形求得三棱锥B-AED的底面边长和高，则棱锥的体积可求．

解答 （1）证明：如图，
取AE中点G，连接DG、FG，
∵F是BE的中点，∴FG∥AB，则FG∥平面ABC，
∵AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，
又AE=2，CD=1，∴AG=CD，
则四边形ACDG为平行四边形，∴DG∥AC，则DG∥平面ABC，
又FG∩DG=G，∴平面DFG∥平面ABC，
则DF∥平面ABC；
（2）解：∵AB=2，△ABC是正三角形，∴AC=2，
∵AE⊥平面ABC，∴EA⊥AC，
则${S}_{△EAD}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
又平面EACD⊥面ABC，
在平面ABC内过B作BH⊥AC，则AH⊥面ACDE，
在等边三角形ABC中，求得AH=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{E-ABD}={V}_{B-AED}=\frac{1}{3}{S}_{AED}•AH$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．