Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常数，且m≠1，m≠0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当m=$\frac{1}{3}$时，证明：S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常数，且m≠1，m≠0．变形为$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n}$=a_n-1，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．
（2）当m=$\frac{1}{3}$时，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），而S₁•S₂•…•S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{n}}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），要证明S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．只需要证明（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$即可．下面利用数学归纳法先证明：当n≥2时，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$），即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{1}{m}$S_n+a_n-1，其中m是常数，且m≠1，m≠0．
∴$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n}$=a_n-1，
当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{m}{a}_{1}+{a}_{1}-1$，解得a₁=m．
当n≥2时，$（1-\frac{1}{m}）{S}_{n-1}$=a_n-1-1，
$（1-\frac{1}{m}）{a}_{n}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，
化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=m$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为m，公比为m．
∴a_n=mⁿ．
（2）证明：当m=$\frac{1}{3}$时，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴S₁•S₂•…•S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）•$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{{2}^{n}}$（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
要证明S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
只需要证明（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$即可．
下面利用数学归纳法先证明：当n≥2时，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$），
（i）当n=2时，$（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$=$\frac{2}{3}$×$\frac{8}{9}$=$\frac{16}{27}$$＞\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{{3}^{2}}）$=$\frac{5}{9}$，此时不等式成立；
（ii）假设当n=k∈N^*（k≥2）时，不等式成立，即（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$），
则当n=k+1时，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$，
∵（1+$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$=1+$\frac{1}{{3}^{k}}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$-$\frac{1}{{3}^{k}}×\frac{1}{{3}^{k+1}}$=$1+\frac{1}{{3}^{k+1}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}（1-\frac{1}{{3}^{k}}）$＞$1+\frac{1}{{3}^{k+1}}$，
∴（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）$（1-\frac{1}{{3}^{k+1}}）$＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
∴不等式对于n=k+1时也成立，
综上可得：不等式对于?n∈N^*都成立．
∴当n≥2时，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{3}^{n}}$）$＞\frac{1}{2}$，
因此当n≥2时，S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
经过验证当n=1时也成立，
因此对于?n∈N^*，S₁•S₂•…•S_n＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}$成立．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推式、利用数学归纳法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．