Question

10．定义域在R上的函数f（x）满足：（x+1）f′（x）≤0，（f′（x）为f（x）的导函数）且y=f（x）为偶函数，若向量$\overrightarrow{a}$=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），则不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）＜f（-1）的实数m的取值范围是0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$，．

Answer 1

分析 根据导数的运算公式及几何意义得出F（x）=xf（x）在（-∞，+∞）上单调递减，判断出f（x）在（0，+∞）上单调递减，不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）＜f（-1）转化为：|$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$|＞1，运用数量积化简即可．

解答 解：∵（x+1）f′（x）≤0，
∴F（x）=xf（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵y=f（x）为偶函数，f（x）=f（-x）=f（|x|）
∴不等式f（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）＜f（-1）转化为：|$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$|＞1，
∵向量$\overrightarrow{a}$=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），
∴|log${\;}_{\frac{1}{2}}$m-2|＞1，
即0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$，
故答案为：0＜m$＜\frac{1}{8}$或m＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了导数在解决函数，不等式中的应用，关键是结合向量的数量积得出不等式，属于中档题．