Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$都是非零向量，若-3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与5$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$垂直，16$\overrightarrow{a}$+11$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-7$\overrightarrow{b}$垂直，试求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 根据两非零向量垂直的充要条件即可得到$\left\{\begin{array}{l}{（-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（5\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b}）=0}\\{（16\overrightarrow{a}+11\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}）=0}\end{array}\right.$，进行数量积的运算并解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{16}（-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow{b}}^{2}）$=$\frac{1}{90}（32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow{b}}^{2}）$，这样便可得到${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$，从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，这样即可求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据已知条件：$\left\{\begin{array}{l}{（-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（5\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b}）=0}\\{（16\overrightarrow{a}+11\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}）=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow{b}}^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0}\\{32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow{b}}^{2}-90\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{16}（-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow{b}}^{2}）$=$\frac{1}{90}（32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow{b}}^{2}）$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}$，即$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．

点评 考查两非零向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及向量夹角的概念及范围．