Question

13．如图所示，在多面体ACCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2，G为AD的中点．
（1）在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；
（2）求三棱锥G-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可得AB∥DE，取CE的中点F，CD的中点H，连接FH，BF，AH，利用三角形的中位线定理可得：FH∥ED，FH=$\frac{1}{2}ED$，可得四边形ABFH是平行四边形，得到BF∥AH，再利用线面平行的判定定理可得BF∥平面ACD．
（2）由DE⊥平面ACD，可得平面ABED⊥平面ACD，在平面ACD内，作CP⊥AD交AD于点P，可得CP⊥平面ABED，利用V_{三棱锥G-CBE}=V_{三棱锥C-BGE}=$\frac{1}{3}CP•{S}_{△BGE}$，S_△BGE=S_梯形ABED-S_△ABG-S_△DEG，即可得出．

解答 解：（1）∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
取CE的中点F，CD的中点H，连接FH，BF，AH，
∴FH∥ED，FH=$\frac{1}{2}ED$，
∵AB=1，DE=2，
∴AB=$\frac{1}{2}$DE．
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，
∵AH?平面ACD，BF?平面ACD，
∴BF∥平面ACD．
（2）∵DE⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
在平面ACD内，作CP⊥AD交AD于点P，
又平面ABED∩平面ACD=AD，∴CP⊥平面ABED，
∴CP为三棱锥C-BGE的高，
∵V_{三棱锥G-CBE}=V_{三棱锥C-BGE}=$\frac{1}{3}CP•{S}_{△BGE}$，
S_△BGE=S_梯形ABED-S_△ABG-S_△DEG=$\frac{（1+2）×2}{2}$-$\frac{1}{2}×{1}^{2}$-$\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}CP•AD=\frac{1}{2}AC•CD$，
∴CP=$\frac{\sqrt{3}×1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_{三棱锥G-CBE}=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．