Question

18．已知曲线y=sinx在x=0处的切线与曲线y=lnx-x+a相切，则实数a=1+ln2．

Answer 1

分析 求出y=sinx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y=lnx-x+a相切的切点为（m，n），求得函数y=lnx-x+a的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到a的值．

解答 解：y=sinx的导数为y′=cosx，
曲线y=sinx在x=0处的切线斜率为k=cos0=1，
则曲线y=sinx在x=0处的切线方程为y=x，
y=lnx-x+a的导数为y′=$\frac{1}{x}$-1，
设切点为（m，n），则$\frac{1}{m}$-1=1，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{2}$，
即有$\frac{1}{2}$=ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+a，
解得a=1+ln2．
故答案为：1+ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．