Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意的m，n∈N^*，都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在互不相等的正整数p，q，r同时满足p，q，r为等差数列且a_p，a_q，a_r也为等差数列？若存在，求出所有的p，q，r；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）在已知数列递推式中分别取m=2，n=1；m=3，n=1；m=3，n=2即可求得a₃，a₄，a₅的值；
（2）在已知数列递推式中取m=1，得a₁+a_2n-1=2a_n+2（1-n）²，取m=2，得a₃+a_2n-1=2a_n+1+2（2-n）²，两式作差后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式；
（3）假设存在互不相等的正数p，q，r满足题意，由等差数列的性质列式，同时结合（2）可得p²-p+r²-r=2q²-2q，进一步推出p=r=q，与p，q，r互不相等矛盾．

解答 解：（1）由a₁=0，a₂=2，
令m=2，n=1得，a₃+a₁=2a₂+2，解得a₃=6，
令m=3，n=1得，a₅+a₁=2a₃+8，解得a₅=20，
令m=3，n=2得，a₃+a₅=2a₄+2，解得a₄=12；
（2）令m=1，得a₁+a_2n-1=2a_n+2（1-n）²，
令m=2，得a₃+a_2n-1=2a_n+1+2（2-n）²，
两式相减得：a_n+1-a_n=2n，
∴${a}_{n}-{a}_{1}=2[1+2+3+…+（n-1）]=2×\frac{n（n-1）}{2}$=n（n-1）．
又a₁=0，故a_n=n（n-1）；
（3）假设存在互不相等的正数p，q，r满足题意，
则p=r=2q，且a_p+a_r=2a_q，
由（2）知，p²-p+r²-r=2q²-2q，
即p²+r²=2q²，从而（p+r）-2pr=2q²，
故pr=q²，
∴p=r=q，与p，q，r互不相等矛盾．
∴不存在互不相等的正整数p，q，r同时满足p，q，r为等差数列且a_p，a_q，a_r也为等差数列．

点评 本题考查了数列递推式，考查了由数列递推式求数列的通项公式，训练了反证法思想在解题中的运用，是中档题．