Question

19．设函数f_n（θ）=sinⁿθ+cosⁿθ，n∈N^*，且f₁（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．
（1）求f_n（θ）的表达式（用a和n表示）
（2）求证：对任意的正整数n，f_n（θ）为有理数．

Answer 1

分析 （1）利用sinθ+cosθ=a，sin²θ+cos²θ=1，求出sinθ，可得f_n（θ）的表达式（用α和n表示）
（2）利用二项式的展开式，即可得出结论．

解答 （1）解：由题意，sinθ+cosθ=a，sin²θ+cos²θ=1，
所以2sin²θ-2asinθ+a²-1=0，
所以sinθ=$\frac{a±\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$，
所以f_n（θ）=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n；
（2）证明：f_n（θ）=（$\frac{a+\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n+（$\frac{a-\sqrt{2-{a}^{2}}}{2}$^）n
=2${C}_{n}^{0}$•$（\frac{a}{2}）^{n}$+2${C}_{n}^{2}$•$（\frac{a}{2}）^{n-2}•\frac{2-{a}^{2}}{4}$+…+…∈Q．

点评 本题考查同角三角函数关系，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．