Question

10．已知函数f（x）=x³+2ax-（2a+3）x+a²，（a∈R）．
（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）的解析式和导数，求得在点（0，f（0））处的切线斜率和切点，由斜截式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，令导数为0，解方程可得极值点，再令$-\frac{2a+3}{3}＞1$，即可解得a的范围；
（Ⅲ）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0．对a讨论，结合函数的单调性，解不等式，最后求并集即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）={x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-4x+\frac{1}{4}$，
∴f′（x）=3x²+x-4，∴f′（0）=-4，又f（0）=$\frac{1}{4}$，
∴切线方程为$y=-4x+\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1或$x=-\frac{2a+3}{3}$，
要使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
必须有$-\frac{2a+3}{3}＞1$，
解得a＜-3；       
（Ⅲ）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））_min＞0．
讨论①当$-\frac{2a+3}{3}≥1$，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，${（f（x））_{min}}=f（-1）={a^2}+3a+2＞0$，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；      
②当$-1＜-\frac{2a+3}{3}＜1$，即-3＜a＜0，
f（x）在$[{-1，-\frac{2a+3}{3}}]$为增函数，在$[{-\frac{2a+3}{3}，1}]$上为减函数，
所以（f（x））_min=min{f（-1），f（1）}，
得$\left\{{\begin{array}{l}{f（-1）={a^2}+3a+2＞0}\\{f（1）={a^2}-a-2＞0}\end{array}}\right.$解得a＞2或a＜-2，
由此得-3＜a＜-2；
③当$-\frac{2a+3}{3}≤-1$，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以${（f（x））_{min}}=f（1）={a^2}-a-2＞0$得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和函数的极值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．