Question

1．如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”．将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别为S₁、S₂与h₁、h₂．
（1）若h₁=h₂=1，S₁=6，求S₂的值；
（2）若h₁=h₂，求证：S₁＞S₂；
（3）求实数λ的取值范围，使得存在一堆“等积四圆柱”，满足S₁=S₂与$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ．

Answer 1

分析 （1）设出正四棱柱的底面边长为a，圆柱底面边长为r，由题意列出两柱体体积等式及表面积公式，由S₁=6求得a=1．得到r值，代入圆柱表面积公式得答案；
（2）由两柱体体积相等与高相等得到a²=πr²，把两表面积作差即可证得结论；
（3）由$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ，得h₂=λh₁，代入体积相等等式得到a²=λπr²，再把a用含r的代数式表示，由S₁=S₂，列式求出r，结合r＞0，得关于λ的不等式组，求解不等式组得答案．

解答 （1）解：设正四棱柱的底面边长为a，圆柱底面边长为r，
则${a}^{2}{h}_{1}=π{r}^{2}{h}_{2}$，${S}_{1}=2{a}^{2}+4a{h}_{1}，{S}_{2}=2π{r}^{2}+2πr{h}_{2}$，
由h₁=h₂=1，S₁=6，得2a²+4a=6，解得：a=1．
∴πr²×1=1²×1，即$r=\sqrt{\frac{1}{π}}$．
${S}_{2}=2π×\frac{1}{π}×1+2π×\sqrt{\frac{1}{π}}×1$=$2+2\sqrt{π}$；
（2）证明：h₁=h₂，则a²=πr²，
${S}_{1}-{S}_{2}=2{a}^{2}+4a{h}_{1}-（2π{r}^{2}+2πr{h}_{2}）$=$2π{r}^{2}+4a{h}_{1}-2π{r}^{2}-2πr{h}_{1}$
=$4a{h}_{1}-2πr{h}_{1}=2{h}_{1}r（\sqrt{4π}-π）＞0$．
∴S₁＞S₂；
（3）解：由$\frac{{h}_{2}}{{h}_{1}}$=λ，得h₂=λh₁，
则a²=λπr²，$a=\sqrt{λπr}$，
又S₁=S₂，∴$（λ-1）πr=πλ{h}_{1}-2\sqrt{πλ}{h}_{1}$，
$r=\frac{（\sqrt{πλ}-2）\sqrt{πλ}{h}_{1}}{（λ-1）π}$，
∵r＞0，∴$\frac{\sqrt{πλ}-2}{λ-1}＞0$，得
$\left\{\begin{array}{l}{λ＞1}\\{\sqrt{πλ}＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ＜0}\\{\sqrt{πλ}＜2}\end{array}\right.$，解得：λ∈（0，1）∪（$\frac{4}{π}，+∞$）．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．