Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）．
（1）若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1，求cos（$\frac{2π}{3}$-x）的值；
（2）记f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（B）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的坐标表示，结合二倍角的正弦和余弦公式，两角和的正弦公式及诱导公式，化简整理即可得到所求；
（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，可得角B的值，再由（1）即可得到所求值．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1，即为$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$（1+cos$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$+sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1，
故sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即有cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）=cos（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$-$\frac{x}{2}$）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
则有cos（$\frac{2π}{3}$-x）=2cos²（$\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$）-1=2sin²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1
=2×$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$（1+cos$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$+sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
由（2a-c）cosB=bcosC，
则2acosB=ccosB+bcosC，
由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
=sin（B+C）=sinA，
cosB=$\frac{1}{2}$，由于B为三角形的内角，
则有B=$\frac{π}{3}$，
则f（B）=$\frac{1}{2}$+sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和的正弦公式以及诱导公式的运用，提示考查正弦定理的运用，属于中档题．