Question

1．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且平面PAC垂直于底面ABCD，△PAC中，PA=PC，PA⊥PC
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）若BD=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （I）由底面ABCD为菱形，可得AC⊥BD，再利用平面PAC⊥底面ABCD，可得BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC．
（2）利用V_P-ABCD=V_B-PAC+V_D-PAC=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BD$即可得出．

解答 （I）证明：∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：S_△PAC=$\frac{1}{2}×{2}^{2}$=2．
∴V_P-ABCD=V_B-PAC+V_D-PAC=$\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BD$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、菱形的性质、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．