Question

12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（1）求cosC的值；
（2）若acosB+bcosA=2，a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，利用倍角公式可得cosC=2$co{s}^{2}\frac{C}{2}$-1；
（2）由acosB+bcosA=2，利用余弦定理可得$a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，解得c．再利用正弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴cosC=2$co{s}^{2}\frac{C}{2}$-1=$2（\frac{\sqrt{5}}{3}）^{2}$-1=$\frac{1}{9}$；
（2）∵acosB+bcosA=2，
∴$a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，化为c=2．
又∵cosC=$\frac{1}{9}$，∴sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
又a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由正弦定理可得：$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{sinA}$=$\frac{2}{\frac{4\sqrt{5}}{9}}$，解得sinA=$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．