Question

3．已知圆⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0
（1）若圆⊙C的切线在x轴，轴上截距相等，求此切线方程；
（2）从圆⊙C外一点P（x₀，y₀）向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|=|PO|，求使$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$取最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先设圆的切线方程，根据相切和截距相等解即可；
（2）先求出点P满足的关系，再根据$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$的几何意义求解即可．

解答 解：⊙C：x²+y²+2x-4y+1=0．
圆心C（-1，2），半径r=2．
（1）若切线过原点设为y=kx（k≠0），
则$\frac{|-k-2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，∴$k=0（舍）或k=\frac{4}{3}$．
若切线不过原点，设为x+y=a，
则$\frac{|-1+2-a|}{{\sqrt{2}}}=2$，∴$a=1±2\sqrt{2}$，
∴切线方程为：$y=\frac{4}{3}x$，$x+y-1+2\sqrt{2}=0和x+y-1-2\sqrt{2}=0$…（6分）
（2）由|PM|=|PO|得$\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-4{y_0}+1}=\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}$，
∴2x₀-4y₀+1=0，由$\sqrt{{{（{{x_0}-2}）}^2}+{y_0}^2}$几何意义知最小值为$\frac{{|{2*2-4*0+1}|}}{{\sqrt{{2^2}+{4^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
此时设l：y-0=-2（x-2）即y=-2x+4，将其与2x-4y+1=0联立求出此时$P（{\frac{3}{2}，1}）$…（12分）

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．